Chef macht keinen Arbeitsvertrag

Ja das hat Nachteile.

Ohne Vertrag mit Abschrift für die IHK (Formgebunden!) keine Ausbildung.

Falscher AG sucht Dir einen ordentlichen!

Es gibt auf jeden Fall kraft Gesetzes einen mündlichen Vertrag.
Daher besteht auch Anspruch auf Bezahlung.

Eigentlich sollte ja auch ein Lohn vereinbart worden sein. Wenn der AG das bestreitet, dann dürfte ein Gericht auf den Marktpreis-Lohn für eine ungelernte Kraft hinausgehen.

Erkundige Dich mal schleunigst bei der IHK nach der Situation. In einer alten Firma von mir konnten die Verträge auch nachgereicht werden.
Dort ist auch zu erfahren ob der Chef überhaupt ausbilden darf. (Ausbildereignung)

@blaubär:
In der Situation müsste eigentlich auch von einem außerordentlichen Kündigungsrecht des jungen AN ausgegangen werden, weil die Firma über die wahren Verhältnisse schwerwiegend getäuscht hat, oder? Außerordentlich heißt in der Regel fristlos.
Nebenbei müsste der AG sich an die gesetzlichen Kündigungsfristen halten weil der Tarifvertrag des Gastronomiegewerbes mangels Erwähnung im Arbeitsvertrag nicht gilt, oder ? Denn dort sind recht kurze Kündigungsfristen üblich.