Darf mein Arbeitgeber eine Bewerbung verbieten oder reglementieren?

Guten Tag,

folgende Situation erlebe ich gerade im Beruf und bitte um eine kurze Einschätzung, inwieweit ich meine Treuepflicht gegebenenfalls verletze oder aber auch mein Arbeitgeber Grenzen überschreitet.

Zur Ausgangslage:

Ich habe mich vor ca. 11 Monaten bereiterklärt, die Teamleitung unserer Projektteams zu übernehmen, nachdem die alte Führungskraft das Unternehmen verlassen musste.
Mit meinem Chef war besprochen, dass ich, sofern ich es mir zutraue, auch die gesamte technische Leitung ab dem 01.10.2021 übernehme. Allerdings stand auch die Option offen, diese Verantwortung wieder abzulegen, sollte mir der Umfang nicht zusagen. Am 10.09. hat mein Chef dann verkündet, dass ich ab 13.09. die gesamte technische Verantwortung übernehme (also 2 Wochen vor dem abgesprochenen Termin).
Ich bin vor Weihnachten in das Gespräch mit meinem Chef gegangen, da ich mich mit dem gesamten Thema Führung nicht wohl fühle und einfach besser als "normaler Angestellter" aufgehoben bin. Wir haben auch über einen zeitlichen Horizont von ca. 6 Monaten gesprochen, sodass ausreichend Zeit besteht, meine Position nachzubesetzen.
Über die Weihnachtstage kam mein Chef auf den Gedanken, dass es doch viel sinnvoller sei, wenn ich auf meiner Position bleibe und er einen weiteren Teamleiter einstellt, damit ich entlastet werde.

Die gesamte Situation ist für mich nicht befriedigend. Daher war ich am Freitag dann nochmal persönlich bei meinem Chef und habe ihn gebeten, meine Bewerbung bei einem von uns vertretenen Hersteller zu unterstützen. Heute habe ich die Antwort erhalten:
Ja aber...Meine Bewerbung wird nur unterstützt, wenn der früheste Eintrittstag bei diesem potenziellen neuen Arbeitgeber der 01.09.2022 ist und bis 01.08.2022 an sämtlichen Stellen Stillschweigen bewahrt wird.

Ich muss ehrlich gesagt gestehen, dass diese "Voraussetzung" für die Unterstützung für mich einen ganz faden Beigeschmack hat und ich kurz davor bin, meinem Chef tatsächlich die Kündigung auf den Tisch zu legen.
Das Thema Treuepflicht kommt für mich zum Tragen, da ich nicht weiß, ob eine Bewerbung bei einem anderen Unternehmen bereits als Verletzung der Treuepflicht gesehen werden kann, wenn ich mich derzeit in einer Führungsposition befinde.

Beste Grüße und vielen Dank für das Feedback.