Fehlerhafte Lohnabrechnung

Ich habe nach 7 Wochen dann Ende letzte Woche,meine letzte Lohnabrechnung nach der Kündigung (Kündigungsfrist war eine Woche)bekommen,in dieser Lohnabrechnung wurden mir meine Spesen/Auslöse nicht bezahlt und auch die komplette letzte Arbeitswoche nicht.War diese mit einem ärztlichem Attest krankgeschrieben. Dieses wurde dem Arbeitgeber am ersten Krankheitstag in den Briefkasten geworfen, die telefonische Krankmeldung erfolgte auch vor 9 Uhr am ersten Krankheitstag.
Wie lange hat der Arbeitgeber Zeit den noch offenen Betrag zu bezahlten, bekam als Antwort auf mein Schreiben, was Montag zugestellt wurde, mit einer Zahlungsfrist bis Mittwoch, folgende Anwort "Ihre Anfrage wird gerade bearbeitet.Wir werden Ihnen zeitnah Rückmeldung geben"
Was das heißt kann ich mir denken, werden in 4 Wochen mit der nächsten Lohnabrechnung erst den Fehlbetrag zahlen wollen. Was für möglichkeiten habe ich dies zu beschleunigen? Wenn ich beim Arbeitsgericht Klage einreiche wer trägt die Kosten für dieses Verfahren?
Da ich keinen Recdhtsschutz habe will ich nicht wirklich einen Anwalt einschalten.