Fristlose Kündigung wegen arbeitgeberverursachter Krankheit

Hallo, ich habe eine Frage betreffend einer fristlosen Kündigung als Arbeitnehmer. Ich arbeite seit Anfang August in einer Firma als Telefonistin in Teilzeit. Ich habe während meiner Schicht (4 Stunden) ca. 100-120 Telefonate zu führen, telefoniere also ununterbrochen. Das war die ersten zwei Wochen auch kein Problem, da war es draussen warm und im Raum erträglich. Am 13.08. musste ich leider während der Telefonate feststellen, dass mich meine Stimme verliess, mir war eiskalt und ich war am frösteln. Am 14. bin ich dann dick eingemummelt zur Arbeit, obwohl es draussen über 25 Grad waren, ausstaffiert mit Strumpfhose, Rolli, dicker Jacke und habe trotzdem nach nicht mal einer Stunde gefroren bis zum Schüttelfrost. Da halfen auch keine heissen Getränke mehr. Der "Büroraum" ist eine umgebaute Scheune, aktuell ist keine Heizmöglichkeit vorhanden. Zusätzlich zieht es selbst bei geschlossenen Fenstern dermassen, dass sich die Pflanze auf meinem Schreibtisch bewegt, die Temperatur betrug an dem Mittwoch 20 Grad + Zugluft. Am Donnerstag musste ich zum Arzt, keine Stimme mehr, Halsweh + Fieber. Ich bekam eine AU für Donnertag und Freitag, die ich am Montag bis Mittwoch verlängern musste. Am Donnerstag war ich wieder frierend bei der Arbeit gesessen, so dass am Freitag meine Stimme nach ca. einer Stunde wieder weg war. Zuhause habe ich dieses Problem nicht, da ich nicht so viel sprechen muss. Ich habe dann versucht, Arbeiten zu machen, bei denen ich nicht sprechen muss, wurde aber von der Chefin ca. 40 Minuten vor Arbeitsende nach Hause geschickt mit den worten, ich solle telefonieren und wenn das wegen der Stimme nicht gehe, müsste ich eben nach Hause gehen. Am Montag war ich dann wieder beim Arzt und wurde für diese Woche wieder krankgeschrieben. Es ist abzusehen, dass ich nach höchstens einer Stunde in der Kältekammer wieder keine Stimme habe, wobei noch gar nicht sicher ist, dass ich nicht noch weiter krankgeschrieben werde. Jedenfalls muss ich am Montag wieder zum Arzt. Ich habe jetzt Angst, dass meine Stimme chronischen Schaden erleidet, wenn ich trotz Heiserkeit weiter telefonieren soll. Ausserdem habe ich eine andere Stelle gefunden, wo das sprechen gar kein Problem ist. Ich mache normale Bürotätigkeit ohne Telefongespräche, was ja kein Problem für mich ist. Dort könnte ich nächste Woche schon anfangen. Daher habe ich meiner alten Chefin einen Aufhebungsvertrag angeboten, bisher aber noch keine Antwort erhalten. Da sich auf absehbare Zeit an den Arbeitsbedingungen nichts ändern wird und kälteresWwetter gemeldet ist, fürchte ich, dass ich dort ernsthaft krank werde (ich hatte bereits einmal eine Lungenentzündung und bin seitdem empfindlich mit den Atemwegen). Bei Aussentemperaturen von unter 20 Grad werden es in der Scheune nicht mehr 20 Grad sein...Deshalb meine Fragen, falls sie dem Aufhebungsvertrag nicht zustimmt: Kann ich den Arbeitsvertrag fristlos kündigen aus gesundheitlichen Gründen? Kann ich nächste Woche während einer erneuten AU für die alte Stelle beim neuen AG arbeiten? Dort gefährde ich meine Stimme ja nicht. Ich bin nicht bettlägerig und auch sonst nicht eingeschränkt, nur in der zugigen Halle bekomme ich Halsschmerzen und meine Stimme geht weg (Stimmbandentzündung). Welche Möglichkeiten habe ich sonst noch, um nicht mehr in die Kälte zu müssen? Evtl. reguläre Kündigung mit unbezahltem Urlaub? Vielen Dank für das Lesen bis hierher, für Antworten bedanke ich mich schon jetzt.