Habe ich als AN die Möglichkeit fristlos zu kündigen?

Die Möglichkeit zu einer fristlosen Kündigung besteht, wenn gem. § 626 Abs. 1 BGB ein wichtiger Grund vorliegt. Ob das im geschilderten Fall so ist, kann man aufgrund der spärlichen Informationen nicht beurteilen. Im Übrigen ist eine frsitlose Kündigung gem. § 626 Abs. 2 BGB nur innerhalb von zwei Wochen nach Kenntnis des wichtigen Grundes möglich. Wenn nicht gerade die Kenntnis von dem wichtigen Grund innerhalb der Krankschreibungszeit erfolgt ist, ist der Zug für die fristlose Kündigung sowieso abgefahren.

Wenn du unbedingt schnell aus dem Arbeitsverhältnis raus willst, dann versuch mit dem AG einen Aufhebungsvertrag zu schließen.

Wenn Sie kündigen, ist das eine einseitige Willenserklärung, dass Sie das Arbeitsverhältnis beenden. Dann gibt es keinen Aufhebungsvertrag mehr, da Sie ja gekündigt haben.
Entweder Kündigung oder Aufhebungsvertrag. Fristlos dürfte schwierig werden, wie eidechse ja schon erläutert hat.
Suchen Sie zuerst das Gespräch mit dem Arbeitgeber und fragen nach einem Aufhebungsvertrag.