Kündigung wirksam? Kündigungsschutzklage?

Hallo Zusammen,

bräuchte dringend eure Meinung bzw. ein paar arbeitsrechtliche Tipps.

Zu meiner Situation:

Ich habe heute(02.03.2014) meine Kündigung im Briefkasten gefunden.
Es war weder ein Poststempel darauf noch sonst etwas.
Die Kündigung ist auf den 27.02. datiert.
Donnerstags der 27.02. ist diese mir aber definitiv nicht zugegangen, weil ich da das letzte Mal im Briefkasten geschaut habe.

Es handelt sich bei der Kündigung um eine fristgerechte Kündigung aus betrieblichen Gründen zum 31.05.2014.
In meinem Arbeitsvertrag ist eine Kündigungsfrist von 3 Monaten zum Monatsende ausgewiesen. Einem Tarifvertrag unterliegt der Arbeitsvertrag nicht.

Ist diese Kündigung überhaupt rechtens? Schließlich habe ich erst heute darüber Kenntnis erlangt.
Sollte die Kündigung rechtens sein, ist diese dann überhaupt wirksam zum 31.05.2014?
Schließlich steht in meinem Arbeitsvertrag 3 Monate zum Monatsende.
Gibt es da eventuell einen Frist die der Arbeitgeber einberechnen muss, ich habe die Kündigung schließlich erst heute im Briefkasten gefunden?
Somit wären 3 Monate zum Monatsende erst am 30.06.2014.
Ich habe von der Kündigung auch ausschließlich durch den Brief erfahren.
Eine Information über die Kündigung per privater E-Mail-Adresse, Telefon oder persönlichem Gespräch auf der Arbeit erfolgte nicht und wurde auch in keinster Weise angedeutet, obwohl ich die letzten Tage dort ja anwesend war.

Außerdem teilt das Schreiben mir mit, dass ich laut Gesetz einen Anspruch auf eine Abfindung von 0,5 Gehälter pro Jahr des Angestelltenverhältnisses habe. Dies jedoch nur, wenn ich auf eine Kündigungsschutzklage verzichte. Ich stehe zum Kündigunszeitpunkt 1 Jahr und 11 Monate unter Vertrag. Zum 30.06. wären es zwei Jahre gewesen. Somit hätte ich zu diesem Zeitpunkt ja den gesetzlichen Anspruch auf ein ganzes Gehalt (2 Jahre x 0,5 Bruttogehälter)?

Was meint Ihr?
Ist die Kündigung rechtens und zum 31.05. oder 30.06. wirksam?
Sollte ich die Kündigungsschutzklage einreichen? Hätte ich dadurch eine Möglichkeit auf eine höhere Abfindung als die die mir das Gesetz garantiert?

Ich denke,sollte alles wirksam und rechtens sein, dass ich dazu tendiere eher auf eine Klage zu verzichten, um das die letzten Tage dort für mich nicht zur Qual werden.

Sollte ich darauf verzichten, wäre es noch interessant zu wissen, wie ich meinen Anspruch auf die gesetzliche Abfindung gültig mache?
Muss ich das schriftlich beim Arbeitgeber fordern oder ist er durch die Kündigung automatisch zu dieser zahlung verpflichtet?

Vielen Dank im Voraus für eure Mithilfe!

Viele Grüße,

Andre