Kurzarbeit und Kündigung

Hallo,

folgender Sachverhalt:

AG meldet Kurzarbeit für Januar an.
Für AN X ist eingeplant, die ersten beiden Januarwochen Kurzarbeit/Zuhause zu bleiben.
AN X kündigt noch im Dezember, bleibt dann aber mangels Wissen über die Rechtslage die ersten beiden Januarwochen Zuhause.
Nach Rückkehr Mitte Januar erfolgt Aussage von AG, kein Anspruch Kurzarbeitergeld für den AN X - Urlaubstage für 2023 werden für die "freigenommenen" Tage in Januar verbucht.

Wie ist die Rechtslage? Hätte AG den AN X direkt nach Eingang Kündigung hinweisen müssen, dass die "freigenommenen" Tage dann nur Urlaubstage sein können etc.?

Vielen Dank