Minijob neben Hauptberuf - Arbeitstage/Weisungsrecht ohne Arbeitsvertrag

Hallo guten Tag liebe Community, ich hoffe ihr könnt mir mit folgendem Sachverhalt weiterhelfen.

Es stellt sich folgender Fall:

AN arbeitet mit 32 Stunden bei AG1 als Teilzeitkraft und kündigt den Vertrag, um eine andere Stelle anzutreten. AN und AG1 vereinbaren mündlich eine fortlaufende Tätigkeit mit einem Arbeitstag a 8 Stunden pro Woche auf Minijob-Basis und legen gemeinsam ab Juli (Start des Minijobs) den Arbeitstag als Mittwoch fest (AN arbeitet bei dem neuen AG2 Donnerstag, Freitag und Samstag).
AN hat während der Verhandlung darum gegeben, dass AG1 im Arbeitsvertrag auf das Direktionsrecht verzichtet, und die Arbeitstage nur in Absprache mit AN geändert werden können (Um Kollision mit den Arbeitstagen bei AG2 zu vermeiden) und AG1 hat AN hier eine mündliche Zusage gegeben, bzw. auch die Aussage getätigt, es werde keine Kollisionen geben. Nun hat AG1 im schriftlichen Vertrag eben diese Abänderung (und eine Weitere) vergessen. AN hat auf den Fehler hingewiesen und eine Korrektur beantragt.

Nach 2 Wochen Wartezeit (ohne neuen Arbeitsvertrag) wird AN ins Büro zitiert und bekommt gesagt, der Arbeitstag kann nur am Freitag (Kollision mit AG2) stattfinden, ansonsten bestehe kein weiteres Interesse an einer Arbeitsbeziehung und es werde kein neuer Vertrag aufgesetzt. Des Weiteren möchte AG1 das Arbeitsverhältnis im Allgemeinen nicht fortführen und würde AN gerne bedingungslos (Unter Auszahlung des Resturlaubs) entbinden. Zu diesem Zeitpunkt hat AN bereits einen Tag gearbeitet und einen Urlaubstag genommen.

An geht jedoch davon aus, dass bereits die mündliche Vereinbarung (Start Juli, Arbeitstag Mittwoch, 8 Stunden, Fortführung der alten Arbeitsaufgaben) als rechtswirksam gilt. Unklar ist jedoch inwiefern AG1 den Arbeitstag zuweisen kann, obwohl AG1 weiß, dass blockierte Tage durch AG2 nicht zur Verfügung stehen. Könnte AN auch auf eine Art Abfindung bestehen, um den Arbeitsvertrag aufzulösen? Zu Berücksichtigen wäre hier ggf., dass AN durch unbezahlte Rüstzeit ca. 60 Überstunden angesammelt hat.

Ich hoffe ihr könnt mir bezüglich Weisungsrecht und der Abfindung ein wenig Weiterhelfen.

Liebe Grüße und ein schönes Wochenende.