Mündliche Kündigung in Probezeit welche jetzt abgelaufen ist

Nach der Schule hatte mein Sohn über freiwilliges soziales Jahr (FSJ) ein Jahr im Krankenhaus gearbeitet.
Dort hatte er bereits seit 5 Monaten bei einer Studie gearbeitet.
Das Krankenhaus hatte ihn anschließend befristet mit einen Arbeitsvertrag übernommen.
Im Arbeitsvertrag hat er eine Probezeit von 6 Wochen, welche seit gestern abgelaufen ist.
4 Tage vor Ablauf der Probezeit wurde er zu einem Mitarbeitergespräch geladen.
Hier wurde ihm mündlich mitgeteilt das er respektlos und unmotiviert ist und somit gekündigt wird.
Schriftlicher Kündigung liegt keine vor.
Auschlaggebend war eine Chefin, welche aus einem anderen Teil des Krankenhauses abgezogen und dort eingesetzt wurde.
Sie machte Fehler und mein Sohn wies sie darauf hin.
Das war wahrscheinlich zuviel!
Bis dato davor kam es nie zu einer Bemängelung seiner Arbeit und auch positive Resonanz.
Er ging verschnupft zur Arbeit, worauf hin sie ihn sofort nach Hause schickte und in der Woche darauf, als er wieder da war, kam gleich die Meldung mit dem Mitarbeitergespräch aus dem die mündliche Kündigung dann resultiert ist.
Er hat keinen Rechtsschutz und möchte aber seinen Job behalten, auch weil es ihm Spaß macht.
Gegenwärtig ist er nach der unerwarteten Hiobsbotschaft eher depressiv veranlagt.
Sollte er einen Antrag beim Arbeitsgericht stellen?
Ist so etwas ohne schriftliche Kündigung möglich?
Sollte er seinen Arbeitgeber wegen den Mißstände via Einschreiben anschreiben?
Ja ich weiß sind einige Fragen, bin aber keine Juristin!

LG

Fiona