Unfall bei Dienstfahrt mit Privat-PKW

Hallo!

Hatte heute mit meinem Privat-PKW einen Unfall bei uns auf dem Firmengelände. Beim Rückwärtsfahren habe ich den Benz eines Kunden gestreift. Den Schaden zahlt nun wohl meine eigene Autoversicherung. Den Schaden an meinem Wagen meinte der Chef würde er tragen, da wir keine Dienstreisehaftpflicht haben. Wie verhält es sich rechtlich, hätte ich immer einen Anspruch auf Erstattung? Es ist so geregelt und Praxis, dass ich ein Fahrtenbuch führe und die Fahrtkosten seuerfrei ersetzt bekomme.
Wie ist es mit dem eigenen Schaden durch die Hochstufung in der Versicherung? Kann ich das irgendwie geltend machen oder vom Arbeitgeber ersetzt bekommen?

Danke!