Vertragsstrafe im Vergleich-KlAGEN ODER NICHT?

Hallo zusammen,

habe folgende Frage an Euch:

Wenn mit dem AG im gerichtlichen Vergleich eine Vertragsstrafe von 1 Monatsgehalt vereinbart wurde, für den Fall, dass er Dritten ggü. andere Angaben macht, als die, die im Vergleich stehen, kann man dann auf Zahlung der Vertragsstrafe klagen? Und wenn ja, wie wird das formuliert?

Vorliegend stand im Vergleich, dass das Arbeitsverhältnis aufgrund arbeitgeberseitiger Kündigung endet.
NUN hat der AG in der AG-bescheinigung an die Agentur für Arbeit durch Ankreuzen mitgeteilt, dass ein Aufhebungsvertrag geschlossen worden sei. Wahrscheinlich, damit er nichts weiter auf dieser Seite auszufüllen braucht im Vordruck bzgl. der Abfindung und den weiteren Daten (Faulheit?).
Die Sachbearbeiterin der Agentur meinte nach Vorlage des Vergleichs, dass der AG die AG-bescheinigung nochmal korrekt ausfüllen muss und sie ihn dazu schriftlich auffordern wird. Das hat sie getan und eine Kopie zugesandt.

Darin steht, dass die Angaben korrekt ausgefüllt werden müssen, so wie es im Vergleich steht.

Kann ich jetzt auf Zahlung der Strafe klagen?
Was ist, wenn der AG eine korrigierte AG-bescheinigung einreicht? Hat das Auswirkungen auf die Zahlungspflicht?

Vielen Dank!