Weiterbefristung rechtswidrig?

Hallo,

es geht um folgenden Sachverhalt:

AN wurde für 18 Monate befristet eingestellt (ohne Sachgrund). Dieser Arbeitsvertrag endete am 31.08. Der AG hat im August den AN mündlich über die Verlängerung für weitere 6 Monate informiert. Durch Urlaub war der AN Ende August nicht da. Der AN kam erst wieder am 02.09. zum Dienst. Vor dem Urlaub bat der AN um den Arbeitsvertrag. Der AG hatte diesen noch nicht vorliegen (steckte wohl in der Personalabteilung fest).
Der AN hat den Vertrag (befristet für weitere 6 Monate, gültig ab 01.09.) also erst am 02.09. bekommen und unterschrieben.
Die Unterschrift vom AG ist datiert auf 12.08. (dies war noch vor dem Urlaub des AN).

Ist der Vertrag durch die "zu späte" Unterschrift des AN nun unwirksam? Liegt vielleicht sogar ein unbefristeter Vertrag vor?