unentschuldigtes Fehlen / ordentliche Kündigung / Vertragsstrafe

Hallo, ich bitte um Rat in einem Kündigungsfall, welchen ich hier anonymisiert schildere.

Eine Arbeitnehmerin ist in einem Betrieb mit mehr als 10 Personen beschäftigt, außerhalb der Probezeit, unbefristet.
Die Arbeitnehmerin ist bereits länger im Krankenstand und aufgrund unglücklicher Umstände, die für die weiteren Fragen nicht relevant sind, bekommt der Arbeitgeber vom Fortbestand der Erkrankung dieses Mal zu spät Kenntnis, auch die AU erhält der Arbeitgeber zu spät. In den Wochen zuvor wurde die Erkrankung stets sofort gemeldet und die AU persönlich vorbeigebracht oder hat den Arbeitgeber direkt per Post erreicht. Ergänzend ist noch wichtig, dass der Arbeitnehmer in dem Fall, dass er nicht mehr krank geschrieben wäre, freigestellt worden wäre (aufgrund bereits zuvor erfolgter betriebsbedingter Kündigung, welche jedoch aus sozialen Gründen angefochten wird).

Der Arbeitgeber spricht der Arbeitnehmerin daraufhin sofort eine weitere, ordentliche Kündigung aus, da die Arbeitnehmerin seit 2 Tagen unentschuldigt fehle und sich nicht gemeldet habe.

Frage 1: Ist eine solche Kündigungs rechtens oder müsste nicht zunächst eine Abmahnung erfolgen?

Im Arbeitsvertrag hat der Arbeitgeber eine recht allgemein gehaltene Vertragsstrafe formuliert: Die Arbeitnehmerin verpflichtet sich für den Fall, dass das Arbeitsverhältnis nicht vertragsgemäß angetreten wird oder das Arbeitsverhältnis vertragswidrig beendet wird, dem Arbeitgeber eine Vertragsstrafe in Höhe... einer Bruttomonatsvergütung... zu zahlen.

Frage 2: Ich verstehe den Satz so, dass die Vertragsstrafe in dem Fall eintritt, dass der Arbeitnehmerin ihren neuen Job gar nicht erst antritt bzw. die Arbeit irgendwann eigenmächtig einstellt, also quasi fristlos kündigt. Oder würde dies auch im Falle eines dreitägigen, unentschuldigten Fehlens, wie oben beschrieben aufgrund verspäteter Folgekrankmeldung, greifen? Im Internet habe ich mehrfach gelesen, dies müsste dann im entsprechenden Paragraphen auch detailliert aufgelistet werden.

Über eure Hilfe würde ich mich sehr freuen. Danke!

-- Editiert von Helene123123 am 29.06.2018 19:32