Gebrauchtwagenkauf / Inzahlungnahme

Hallo zuasammen,

wir haben einen Gabrauchtwagen gekauft und geben unseren morgen in Zahlung. Der "Neue" wird dann auch abgeholt.

Im Kaufvertrag ist der alte PKW mit Kennzeichen, EZ, km und die vereinbarte Summe vermerkt.

Brauchta man da nicht auch einen richtigen "Kaufvertrag" seitens des VK, der in dem Falle auch Käufer ist?

Ich hatte mit nur folgendes gedacht:
Wir übergeben ihm alle Papiere. Einen Schadensbericht nach einem kleinen Unfall, der instandgesetzt wurde.
Dies wird ja nirgends festgehalten und der VK bzw. K in dem Falle könnte nach 1 Monat sagen, dies wurde ihm verschwiegen.

Gibt es bei Inzahlungnahme irgendwelche Besonderheiten, die man beachten sollte?

Besten Dank!