Verbindliche Bestellung ohne unterschrift

Mein Verlobter und ich waren am Wochenende auf Autosuche. Wir brauchen beide ein neues. Ich habe mich für ein Neuwagen entschieden. Mein Verlobter hat sich einen gebrauchten näher angeschaut und auch gefahren. Der Verkäufer hat relativ schnell darauf gepocht das etwas unterschrieben wird. Mein Verlobter (amerikaner der kaum deutsch spricht) hat für beide autos eine "verbindliche bestellung" unterschrieben ohne das einem von uns genau erklärt wurde was das ist. Uns war beiden nicht klar wie bindend dieses angebot ist. Klar unwissenheit schützt nicht aber trotzdem ist es jetzt echt doof. Ich habe von dem verkäufer eine kopie der verbindlichen bestellung bekommen auf der weder verkäufer noch wir unterschrieben haben. Auf dem original hat mein verlobter unterschrieben aber ob der Verkäufer unterschrieben hat weis ich nicht (gesehen hab ich nichts). In den AGB steht "Der Käufer ist an die Bestellung höchstens 10 Tage, bei Nutzfahrzeugen höchstens 14 Tage gebunden. Der Kaufvertrag ist abgeschlossen, wenn der Verkäufer die Annahme der Bestellung des näher bezeichneten kaufgegenstandes innerhalb der jweils genannten fristen schriftlich bestätigt oder ausliefert".
Heist das nicht das wir eine schrifliche bestätigung des Verkäufers haben müssten, sprich eine Unterschrift auf den Formularen oder nochmal extra was, was er uns zukommen lässt?