Erbe - Wohnung - Möbel

In welcher Form hast du "übernommen"? War das ein Geschenk oder solltest du die Möbel etwa hüten, bis er zurückkommt?
Das wird meistens ja nicht glasklar gesagt, aber es gibt Indizien.

Also: Wurde der Mietvertrag deines Vaters auf dich umgeschrieben oder wohnst du einfach da (dann kommen noch ganz andere Probleme bei der Ausschlagung auf dich zu)?
Hat dein Vater ein paar Möbel mitgenommen und den rest dagelassen?
War es die freie Entscheidung deines Vaters, lieber im Altersheim zu wohnen, oder gab es Probleme, die den Umzug notwendig machten?

In jedem Fall würde ich vermuten, dass die Möbel nicht viel wert sind: Der gebrauchtmöbelmarkt in Deutschland ist praktisch tot, einen Schrank, der neu 1000€ kostet, wird man nach zwei Jahren nicht mal für 100€ verkaufen können.
Vermutlich wird sich also niemand für die Möbel interessieren, solange die in deiner von dir angemieteten Wohnung stehen.

Dann würde ich mal vermuten, dass er sein Eigentumsrecht an den Möbeln aufgegeben hat und die Möbel somit dir gehören.Wen irgend jemand die Möbel herausfordert, soll er dir die Rechtsgrundlage nennen, ansonsten kannst du sie behalten.
Wenn du ganz sicher gehen willst, soltlest du in nächster Zeit keine von den Möbeln entsorgen - nur so für den Fall, dass jemand da Diskussionen anfangen will. ISt aber unwahrscheinlich.

Keinesfalls bist du verpflichtet, dich irgendwo zu melden. Selbst wenn die Möbel nur geliehen wären, müsstes sie erst mal von einem nachgeweisenen ERben zurückgefordert werden.