Erbe aufgrund Generalvollmacht ?

Guten Morgen,
stellvertretend für meinen Vater, möchte ich gerne eine Frage stellen.
Vorgeschichte hierzu: Mein Vater hat seiner Mutter vor ihrem Tod vor 6 Jahren versprochen, sich um ihren Freund zu kümmern, was er auch gerne gemacht hat. Dieser hat ihm für alle Fälle eine Generalvollmacht ausgestellt. Nur ist dieser Freund verstorben und wir haben uns um darum gekümmert, dass alle Institutionen (wie Vermieter, Banken, Versicherungen etc) darüber informiert wurden und haben entsprechend eine Sterbeurkunde beigefügt.
Nun macht allerdings der Vermieter Ärger. In einem ersten Telefonat teilten diese uns mit, dass wir in die Wohnung gehen können, um nach persönlichen Dingen meiner vor 6 Jahren verstorbenen Oma zu schauen und dann die Schlüssel beim Vermieter abgeben sollen, was wir auch getan haben. Der Richtigkeit halber haben wir dann noch eine Kopie der Sterbeurkunde und der Generalvollmacht an den Vermieter gesandt.
Das entpuppt sich inzwischen als großer Fehler.
Nun behaupten die Vermieter, mein Vater sei durch den Besitz der Generalvollmacht etwas "ähnliches wie eine Erbe" (O-Ton) und sei nun für die Auflösung der Wohnung verantwortlich und fordern ihn auf weiterhin die Miete zu zahlen bis er die Wohnung ordentlich und fristgemäß gekündigt hat.
Dem haben wir widersprochen mit dem Hinweis, dass eine Generalvollmacht nicht den erbrechtlichen Bestimmungen des BGB unterliegt und sie sich bitte an eventuelle Erben wenden sollen (es existiert irgendwo eine Tochter und Ex-Ehefrau, die aber keinen Kontakt mehr mit dem Verstorbenen pflegten). Da wir auch Einblick auf das Konto haben und dieses sich mittlerweile im Minus befindet, haben wir dem Vermieter die Lastschrift entzogen. Nun teilt uns der Vermieter erneut mit, dass das Mietverhältnis nicht beendet sei, da keine Kündigung unsererseits vorliegt und buchen fleissig weiter ab. Mittlerweile haben Sie zwar bestätigt, dass mein Vater kein Erbe des Mietverhältnisses sei, aber, genau wie ein Erbe, das Recht zur Kündigung der Wohnung habe. Sollte er nicht kündigen, werden diese die Einrichtung einer Nachlaßpflegeschaft beantragen und drohen meinen Vater mit einer Schadensersatzpflicht wegen Verletzung der Schadenminderungspflicht.
Mein Vater ist selbst 73 und nun völlig verunsichert, dass er dem alten Mann einfach nur helfen wollte und quasi nun dafür auch "bestraft" wird.
Haben die Vermieter mit ihrer Behauptung recht und was sollte er nun am besten tun ?
Bitte entschuldigt den langen Text und ich hoffe, es ist einigermaßen verständlich.
Viele Grüße
Markus