Immobilie erben, Notarkosten

Hallo zusammen.

Zwei Söhne erben von Ihrem verwitweten Vater je eine Wohnung mit verschiedenem Wert. Im Testament steht, welcher Sohn welche Wohnung bekommen soll. Das Testament ist notariell beglaubigt.

Ist es nicht so, dass innerhalb zweier Jahre nach dem Tod des Erblassers die Immobilien für die Erben kostenlos ins Grundbuch eingetragen werden? Braucht man dazu einen Notar?

Vom Nachlassgericht kam ein Fragebogen mit folgenden Fragen:

1. Unter Bezugnahme auf die Nachlassakten beantrage ich die Berichtigung des Grundbuches.

2. Die Berichtigung des Grundbuches wird nicht beantragt, weil
a) die Teilung des Nachlasses durch notariellen Vertrag vorgenommen wird.
b) Vermächtniserfüllung durch notariellen Vertrag vorgenommen wird.

Der Erbe soll etwas ankreuzen und hat beim Nachlassgericht die telefonische Auskunft bekommen, dass er 2a) ankreuzen soil.
Ist das richtig? Fallen dann nicht Notarkosten an, die vermeidbar wären?

Vielleicht weiß jemand was zu diesem Thema.