Gemeinsames Sorgerecht und Umzug

1.Eine Frau hat das alleinige Sorgerecht für ihren Sohn.
Nun haben sich Frau und Ex-Mann auf gemeinsames Sorgerecht geeinigt.
Wie bekommt man das hin?
Man muss ja mit Sicherheit irgendeinen Antrag stellen.
Was muss darin stehen? ("wir wollen nun gemeinsames Sorgerecht, tragen sie das mal in den Akten ein" wohl eher nicht oder?)
Zu wem muss der Antrag gehen? Familiengericht?
Wie lange dauert das ca bis ein Beschluss oder ähnliches durch ist, also das gemeinsame Sorgerecht rechtskräftig ist?
Und zu guter letzt, was kommt da ca an Kosten?
2. Das Kind soll zum Vater ziehen. Bisher ging der Unterhalt ans Jugendamt (Beistandschaft) und die haben es dann weiter geleitet.
Muss man dem Jugendamt einfach mitteilen, dass das Kind beim Vater lebt und kann die Zahlung einstellen?
Wie sieht es mit Kindergeld aus? Muss man da auch einen Antrag stellen, dass das Geld jetzt an den Vater geht.

Grüße und schonmal danke für eure Hilfe.