Kindergarten und Betreuungskosten

Guten Tag,

meine baldige Exfrau macht Betreuungskosten für unsere gemeinsame Tochter geltend, die weit über den Kindesunterhalt hinausgehen. Ich soll entsprechend mehr zahlen.
Das Problem aus meiner Sicht:
Unsere Tochter war im Kindergarten. Meine Ex hat sie aus dem Kindergarten genommen weil sie umziehen wollte (Distanz zwischen neuen und altem Ort: 20 km). Es bestand trennungstechnisch kein Grund für den Umzug, da ich vorher bereits ausgezogen war.
Am neuen Ort gibt es aber erst in 8 Monaten einen KiGa Platz.
Meine Ex fährt zur Arbeit in den Nachbarort des alten Kindergartens.
Muss ich zahlen?

Grüße
Ben