Vaterschaft anerkennen und namens frage

Hallo liebe Forums Gemeinde, ich bin neu hier und habe direkt mein erstes Anliegen und hoffe auf Hilfe

Meine Freundin und ich bekommen ein Kind der berechnete Termin ist am 23.12.
Jedoch ist sie noch verheiratete. Getrennt haben sie sich im August letzten Jahres. Jedoch war sie erst im Oktober beim Anwalt zwecks der Scheidung. Also wird davon ausgegangen das Oktober erst das Trennungsjahr vorbei ist. Wird dann also mit dem tatsächlichen Scheidungstermin und der Geburt etwas knapp.

Nun habe ich mich belesen das der noch Ehemann sein Einverständnis geben kann (was er auch tut) das ich die Vaterschaft anerkennen kann.
Nur weiß ich nicht geht das jetzt schon innerhalb des Trennungsjahres oder erst wenn die unterlagen beim Gericht liegen?

Wo wir uns auch einig sind ist das unser Kind eigentlich meinen Namen annehmen soll. Aber ist das überhaupt möglich selbst wenn ich die Vaterschaft anerkannt habe und sie quasi noch verheiratet ist?

Wenn nicht wie verhält es sich dann nach einer eventuell möglichen Änderung des Namen bzw vllt durch eine Hochzeit. Würde dann auch direkt z.b. Paul Meyer geboren Müller stehen oder wie verhält sich das bei Kindern?

Ich hoffe ihr könnt uns unsere Fragen beantworten.

Liebe grüße