Wie wird Sorgerecht fest gelegt?

Hallo, mein bester Freund wurde vor etwas mehr als 2 Wochen Vater, die Mutter des Kindes, mit der er eine Beziehung führt, wohnt leider noch 2,5 Stunden entfernt.
Ein Umzug zu meinem Freund ist (angeblich, Zeitpunkt steht noch nicht fest) geplant.

Einige Tage nach der Geburt waren beide zusammen beim Rathaus um das Kind anzumelden.
Dabei hat mein Freund unterschrieben, dass er der Vater ist.

Nun hat er mir im Nachhinein erzählt, dass seine Freundin zu ihm sagte, dass es besser sei, wenn sie das alleinige Sorgerecht hätte, weil sie 1. damit mehr Tage auf das Kind krank machen kann und 2. schneller einen Grippenplatz bekommen würde.
Ich halte beide Argumente für Schwachsinn, selbst wenn die stimmen sollten, steht das doch in keiner Relation zur Wichtigkeit, dass beide Eltern das Sorgerecht haben.
Das habe ich meinem Freund auch gesagt und er möchte natürlich auch das gemeinsame Sorgerecht haben.

Meine Fragen sind nun:
- Wann und wo wird festgelegt oder abgefragt, wer das Sorgerecht für das Kind haben soll?
- Muss dazu auch der Vater gefragt werden?
- Sollte er bei der Anmeldung im Rathaus aus Verwirrung für das alleinige Sorgerecht unterschrieben haben, wie kann er das ändern? (im besten Fall natürlich mit Mitwirkung der Mutter)

Danke für eure Hilfe.