Offene Rechnung nach über 3 Jahren noch bezahlen?

Guten Abend,

wir haben 2019 ein Haus gebaut. Einer der Firmen, eine Sanitärfirma hat bei uns die Sanitär- und Heizungsarbeiten gemacht. Anschließend kam die 1. Abschlagsrechnung die wir bezahlt haben (Datum 10.07.2019). Neun Tage später (19.07.2019) kam dann die Schlussrechnung mit einer verbleiben Restschuld von 4039 Euro. Wir haben damals bei der Firma angerufen und Ihnen mitgeteilt dass wir die Restschuld erst zahlen werden, wenn alles fertig ist, da zu diesem Zeitpunkt Dinge noch nicht geliefert und installiert wurden. Diese wurden dann Wochen später eingebaut. In der Zeit hatten wir ganz vergessen dass noch eine Restschuld besteht und von der Firma hatte sich auch keiner mehr danach gemeldet. Nun haben wir heute eine Mahnung (Datum 02.01.2023) erhalten mit der Bitte die Restschuld zu bezahlen. Ich habe im Internet gelesen, dass die Firma maximal 3 Jahre Zeit hat eine Rechnung zu schreiben (also bis zum 31.12.2022). Allerdings ist es in unserem Fall ja keine neue Rechnung sondern eine Schlussrechnung die über 3 Jahre nicht kompelett bezahlt wurde. Nun meine Frage: müssen wir nach über 3 Jahren den Restbetrag überhaupt noch zahlen? Vielen Dank im Vorraus für Ihre Mühen.