Werkstatt möchte für Fehldiagnose 639 Euro

Hallo!

Der TÜV hat bei meinem Auto ein Knacken in der Lenkung als schweren Mangel eingestuft. Ich bin daraufhin zu einer Vertragswerkstatt gefahren und habe das prüfen lassen.
Ergebnis: Lenkgetriebe defekt... 2600 Euro!
Ich habe dann einen Auftrag unterschrieben und die benötigten Teile wurden von der Werkstatt bestellt.

Als ich mich dann daheim ein wenig informiert habe, ist mir aufgefallen, dass mein Auto kein einziges Symptom eines defekten Lenkgetriebes zeigt, es eher auf ein defektes Lenkgestänge hinweist.
Ich bin dann zu einer freien Werkstatt gefahren und tatsächlich: Das Lenkgetriebe ist völlig in Ordnung, es war das Lenkgestänge - dieses musste jedoch nicht einmal ersetzt werden, sondern nur gereinigt und neu eingefettet werden. Kosten: 70 Euro plus MwSt. Auch der TÜV war anschließend zufrieden damit.

Ich habe dann den Termin bei der Vertragswerkstatt abgesagt. Die sehen das aber nicht ein und bestehen auf den unterschriebenen Auftrag: Die wollen das völlig intakte Lenkgetriebe für 2600 Euro tauschen, bzw. bieten mir aus "Kulanz" eine Strafzahlung in Höhe von 639 Euro an (das sind 30% der bestellten Ersatzteile).

Ist das rechtens? Können die 639 Euro für eine Fehldiagnose verlangen?
Ich kann ja einen gewissen Arbeitsaufwand verstehen: DIe haben sich etwas 10 Minuten lang mein Auto angeschaut, es gab ein Beratungsgespräch, die haben Teile bestellt, die müssen die Teile zurückschicken... Aber 639 Euro?!
Und auch wichtig: Bei den 2600 Euro für die Reparatur wäre das Lenkgestänge nicht dabei gewesen - nach der Reparatur wäre der eigentliche Schaden also noch immer da gewesen!

Wie gehe ich da jetzt am besten vor?

Viele Grüße
Birger