Zusatzleistung ohne Auftrag?

Liebe Forengemeinde,

zu folgendem fiktiven Rechtsfall würde mich die Rechtslage interessieren:

Hausbesitzer H hat die Firma F mit der Errichtung einer PV-Anlage auf dem Dach seines Hauses beauftragt.
Über diesen Auftrag hat F eine Auftragsbestätigung an H geschickt, in der als eine Position auch die Elektroarbeiten aufgeführt sind (Gesamtsumme des Auftrags 35.800€). Dort steht auch erläutert, dass der erforderliche Umbau eines bestehenden Elektro-Zählerschranks Bestandteil der aufgeführten Kosten sei (Summe Elektroarbeiten 2.900€), unter der folgenden Voraussetzung, welche dort ergänzend aufgeführt ist: "Achtung! Bauseits ist zu prüfen, ob der Zählerschrank neu muss. Laut Stadtwerke darf er hängen bleiben. Kunde soll dies schriftlich vorlegen".
Auf Initiative des Kunden wurde seitens der Stadtwerke via Mail an F und H mitgeteilt, dass ein Umbau grundsätzlich erlaubt sei, sofern bestimmte Voraussetzungen erfüllt werden. Ob und wie diese geschilderten Voraussetzungen technisch umsetzbar sind, entzog sich der Kenntnis von H, da er kein Elektrofachmann ist.

Firma F beauftragte schließlich Elektrofirma E, um die Umbauarbeiten durchzuführen. Dabei kam E zur Erkenntnis, dass der Umbau unter Berücksichtigung der von den Stadtwerken genannten Voraussetzungen wohl technisch nicht möglich sei und ein neuer Zählerschrank installiert werden müsse. Dies teilte E mündlich an Hausbesitzer H mit.
H rief schließlich bei F an, um das Problem zu schildern. F äußerte schließlich mündlich "Ja gut, das haben dann wohl wir verbockt und der Schrank geht dann auf unsere Kappe".
Es wurde dann ein neuer Zählerschrank installiert (beauftragt durch Firma F). F schickt nun eine Rechnung an H über 3.500€ für die Installation dieses Zählerschranks.

H weigert sich nun, den Zählerschrank zu bezahlen, da über die Neuinstallation immer nur "locker mündlich" gesprochen wurde und er davon ausging, es würden keine Zusatzkosten für ihn entstehen.

Wie ist hier die Rechtslage?
Könnte es sich drehen um VOB/B § 2 Abs. 8 Nr. 1 und 2 bzw. §677 BGB? Und wenn ja, trifft denn Nr. 2 in diesem Falle zu? Irgendwie hat ja H schon hingenommen, dass der Schrank installiert wird, aber im Glauben, dass die Leistung für ihn kostenlos sei.

Wie wären denn die Erfolgsaussichten im Rahmen eines Rechtsstreits für H und F? Denn über die Neuinstallation wurden ja lediglich Telefonate geführt und es gibt keine Mails/Briefe, mit denen weder zugunsten von F noch zugunsten von H irgendetwas schriftlich nachweisbar wäre.

Vielen Dank für eure Einschätzung!