Abmahnung mit 250 € Schadenersatz wegen Posting für Fewo bei Facebook

Wie macht der Admin das Fehlverhalten fest und welche Nachweise wird es wohl für den Schadenersatz geben?

Unerwünschte elektronische Werbung ("Kaltaquise") ist eigentlich immer abmahnfähig.
Das Argument, dass in den Gruppenregeln nichts von Fremdwerbung stand, würde ich mir verkneifen - das geht nach hinten los. Damit bestätigen Sie nämlich Ihren Vorsatz.
Es gibt Sachen, die sind einfach nicht erlaubt, auch wenn es nicht ausdrücklich dabei steht.

Es bleibt nur, die Kosten anzugreifen.
Das Problem ist, dass hinter der genannten Facebookgruppe laut Google keine Privatperson sondern ein rechtsfähiger, eingetragener Verein steht, der (auch) kommerzielle Interessen verfolgt.
Da wird ein Kostennachweis wahrscheinlich kein großes Problem sein, denn ein Verein kann ja selbst nichts tun, sondern muss einen echten Menschen beauftragen, sich um die unerwünschte Werbung zu kümmern.

Eine Empfehlung ist schwierig.
Wenn Sie sich sich für "Aussitzen" entscheiden, kann das gut gehen, kann aber auch dazu führen, dass die Gegenseite einen Anwalt beauftragt, dessen Kosten Sie womöglich am Ende auch noch bezahlen müssen.
Wenn Sie einen eigenen Anwalt beauftragen, wird das wahrscheinlich teurer als die 250€ gleich zu zahlen.