Privatverkauf - Käufer fordert Restgarantie

Hallo!
Ich habe vor einigen Tagen ein Gerät bei eBay verkauft. Das Gerät war ca 1 Jahr alt. Ich habe angegeben, dass ich keine Garantie/Gewährleistung mehr auf das Gerät gebe.
Der Käufer fordert mich trotzdem auf ich solle ihm die Rechnung geben. Er bat mich ihm meine Kundennummer zu geben, so dass er selber bei Quelle anfragen kann wie lange das Gerär noch Garantie/Gewährleistung hat. Hat der Käufer rechtlichen Anspruch auf meine Rechnung? Darf ich nicht als Privater selber entscheiden ob ich dem Käufer die Garantie überlasse? Der Käufer droht mir nun an, wenn ich ihm bis zu einem bestimmten Zeitpunkt nicht die Rechnung schicke, dass er zu Quelle geht und das Gerät prüfen lassen will und zwar auf meine Kosten. Darf er dieses?
VIELEN DANK schonmal für die Beantwortung!!! liebe Grüße