Rechnung und Mahnung bei mündlich abgeschlossenem Kaufvertrag zwischen natürlichen Personen

Angenommen, die beiden natürlichen Personen Person A (Verkäufer) und Person B (Käufer) einigen sich mündlich über den Verkauf eines Möbelstücks. Beide wohnen in der selben Wohnung und der Verkauf ist mündlich auf das Auszugsdatum von Person A datiert (genaues, im Kalender bestimmbares Datum). Beim Auszug lässt Person A wie vereinbart das Möbelstück in der Wohnung, Person B leistet aber in den nachfolgenden Wochen keine Zahlung.

Muss Person A eine schriftliche Rechnung ausstellen, bevor sie eine Mahnung an Person B richten kann? Begründet die mündliche Absprache im Vorfeld und die Leistungserbringung von Person A die Fälligkeit der Zahlung zum Auszugsdatum?