Anteilige Miete - Problem mit Vormieter

Hallo Zusammen,
folgendes Anliegen, wofür ich eine juristischen Rat bräuchte:
Ich habe einen Mietvertrag zum 01.09. abgeschlossen. Der Vormieter ist letzte Woche ausgezogen und hat die Übergabe mit dem Vermieter gemacht. Der Vormieter wollte für die restlichen Tage bis zum Vertragsbeginn von mir einen Betrag X (anteilmäßige Miete) damit ich früher in die Wohnung kann. Dem habe ich zugestimmt, da ich dann mehr Zeit hatte zum renovieren, etc... Die Übergabe zwischen dem Vermieter und mir erfolgte dann auch letzte Woche. Ich habe die Schlüssel vom Vermieter erhalten und die Wohnung abgenommen. Als ich am Wochenende mit den Renovierungs- und Reinigungsarbeiten beschäftigt war, fiel mir erst so richtig auf wie schmutzig der Vormieter die Wohnung hinterlassen hatte. Allein die Reinigung hat uns 2 volle Tage gekostet.
Unter diesen Umständen bin ich jetzt nicht mehr bereit dem Vormieter auch nur einen Cent zu zahlen. Dies habe ich dem Vormieter nun mitgeteilt und dieser möchte nun juristische Schritte gegen mich einleiten und den zuvor vereinbarten Betrag bei mir einklagen.
Was meint ihr nun dazu, muss ich den vereinbarten Betrag nun trotzdem zahlen? Bin ich überhaupt dazu verpflichtet an den Vormieter für die vorzeitige Übergabe etwas zu zahlen?
Ist die Sache überhaupt so rechtens gelaufen?

Wäre über eine kurze juristische Beratung sehr dankbar!