Mieter nutzt unberechtigt Räume

Hallo,

wir wollen ein Haus kaufen, in dem in der zweiten Wohnung noch ein Mieter wohnt.
Da das Mietverhältnis bereits 40 Jahre dauert, gibt es wohl keinen schriftlichen Mietvertrag. Laut den bisherigen Eigentümern ist aber vereinbart, dass nur die Wohnung und ein Kellerraum zur Mietsache gehören. Das ist auch mündlich mit dem Mieter abgeklärt und er ist der gleichen Meinung.
Allerdings sind derzeit der komplette Dachboden und ein riesiger zweiter Kellerraum mit Gerümpel vollgestellt.

Sobald wir das Haus erwerben, benötigen wir allerdings diesen Platz zum Ausbau und Lagerung der Möbel bis zum endgültigen Abschluss der Renovierung, da andernfalls Doppelbelastung durch unsere bisherige Mietwohnung auf uns zukommen.

Nun zur eigentlichen Frage: Was können wir tun, damit diese Räume schnellstmöglich geräumt werden?
Welche Frist können wir setzen? Welche Möglichkeiten haben wir, wenn bis zur Frist nix passiert (selber entsorgen, Räumung auf Kosten des Mieters durch Spedition, Erhebung einer Miete für diese Räume bis zur Räumung, etc.)???

Bitte dingend um Ihre Hilfe!!!

Vielen Dank!
Tini