Nutzung Mietsache nach Kündigung

Hallo,
Ein gewerblicher Mieter hat ein Lagerraum mit Carport zu nächstmöglichen Termin (vertraglich 3 Monaten) gekündigt und schon in wenigen Tagen hat dem Vermieter Lagerraum übergeben, da angeblich nicht benutzt wird und hat dabei sein Schloss abgebaut und mitgenommen.

Es wurde mündlich vereinbart dass einen Nachmieter gesucht wird und ggf. ab sofort vermietet.

Carport dagegen (Mietsache) wurde nicht übergeben, da massiv mit Baumüll belegt gewesen.

Der Vermieter hat das Lagerraum geräumt, einiges repariert, verbessert, eigene Sachen mitgebracht, sogar eigenes Oldtimer reingestellt, Nachbarn durften drin Winterreifen wechseln usw.
Also- benutzt.

Jetzt weigert der Mieter für die Zeiten ab "Übergabe" die Miete zu zahlen, da "das Lager würde und ist benutzt"

Fragen:

1.Wenn Übergabe formlos vor dem Ablauf Kündigungsfrist stattgefunden- darf der Eigentümer die Sachen und Räume benutzen oder an dritte benutzen lassen?

2. Verzichtet der Mieter bei Übergabe automatisch von jeden Anspruch und Nutzungsrecht so weit, dass der Vermieter auch "parallel" an andere Vermieten darf und somit "doppelte Miete" kassieren?

3. Wenn Mietsache nur teilweise übergeben wurde und Ohne Protokoll, praktisch nur Gefahrenübergang stattgefunden,-welche Ansprüche kann doch der Mieter haben?

Danke im Voraus für die Antworten,