Schadensersatz nach Eigenbedarfskündigung ohne Urteil?

Guten Abend zusammen.

Wir sind im April 2021 in ein Haus eingezogen und haben seitdem aufgrund einer defekten Heizung Streit mit unserem Vermieter. Seitdem minder wie angemessen die Miete. Da der Vermieter dennoch nichts an der defekten Heizung unternommen hat und wir offensichtlich unliebsame Mieter sind, haben wir nach nur 6 Monaten Mietzeit eine Eigenbedarfskündigung zum 28.02.2022 erhalten. Die Gründe sind offensichtlich vorgetäuscht.
Dieser Eigenbedarfskündigung haben wir widersprochen. Nun hat der Vermieter eine Räumungsklage eingereicht, es kam aber weder zu einer Verhandlung noch zu einem Urteil.
Zum Glück haben wir bereits was anderes gefunden.
Sollte nun nach unserem Auszug die Wohnung nicht selbstgenutzt, sondern anderweitig vermieter werden, hätte ich die Möglichkeit Schadensersatzansprüche geltend zu machen?
Mein Anwalt meint nämlich dass ich das nicht kann, da ich ja freiwillig ausgezogen bin und es weder zu einer Verhandlung noch zu einem Urteil kam. Ich dachte dass eine ausgesprochen Eigenbedarfskündigung schon ausreicht.

Meine Frage lautet also, ob ich jetzt Ansprüche auf Schadensersatz geltend machen kann, wenn ich nachweisen kann, dass die Eigendbedarfskündigung vorgeschoben war, obwohl ich „freiwillig" ausgezogen bin?

Vielen Dank im Voraus