Sonderkündigung durch Mieter nach Mieterhöhung - Zu welchem Datum frühestens möglich?

Hallo,
ich habe einem Mieter von mir ein Mieterhöhungsverlagen bis zur ortsüblichen Vergleichsmiete übersandt. Nach nun fast 2 Monaten Überlegungsfrist möchte der Mieter von seinem Sonderkündigungsrecht gebrauch machen, jedoch gibt dieser ein Kündigungsdatum an welches so wie ich es verstehe zu früh ist. Hier mal kurz der zeitliche Ablauf:

29.01.22 - Mieterhöhungsverlangen mit Überlegungsfrist bis zum 31.03.22
14.03.22 - Kündigungsschreiben vorab per Mail vom Mieter ohne Unterschrift mit Kündigung zum 30.04.22
16.03.22 - Kündigungsschreiben vom Mieter per Post, ohne Unterschrift
16.03.22 - Schreiben von mir an Mieter dass Kündigung ohne Unterschrift unwirksam ist.
28.03.22 - Erhalt eines unterschriebenen Kündigungsschreibens

Der Mieter möchte zum 30.04.2022 kündigen. Wenn ich den §561 Abs. 1 richtig verstehe, wäre doch der 31.05.22 für den Mieter der frühestmögliche Zeitpunkt für eine Kündigung. Liege ich damit richtig, oder begehe ich hier einen Denkfehler?