Verzug / Mietausfall / Gutachter

Ein Fall:

der Mieter zieht Ende November (Vertragsende) aus der Wohnung aus, hat Schönheitsreparaturen durchgeführt.
Vermieter ist damit aber nicht zufrieden, hat Mängel und setzt den Mieter in Verzug.
Mieter beseitigt Mängel am 10 Dezember.
Vermieter verlangt nun Mietausfall für Dezember.
Dies kann er ja nur, wenn er einen definitiven Interessenten für die Wohnung hat.
Wie läuft bei einer gerichtlichen Auseinandersetzung der Beweis dafür ab, dass der Vermieter einen angeblichen Nachmieter hatte, der aber nur aufgrund der Mängel nicht rechtzeitig eingezogen ist/nicht einziehen konnte?

Sollte der Vermieter bei Nachbesserung durch den Mieter innerhalb der Frist immernoch nicht zufrieden sein und erneut anmängeln: kann der Mieter dann noch einen Gutachter beauftragen, der die Weitervermietbarkeit der Wohnung bestätigt? Auch, um eventuelle Mängel unabhängig festzustellen und sich vor willkürlicher Minderung der Kaution zu schützen? Darf der Gutachter die Wohnung betreten, obwohl der Mietvertrag bereits beendet ist? Die Wohnung ist noch nicht weitervermietet...

Danke im Voraus für Infos!