Vorzeitige Kündigung der Mieter

Hallo zusammen,

wir vermieten aktuell ein paar WG-Zimmer inkl. Nutzung von Gemeinschaftsräumen in einem Reihenhaus.

Nun ist es so, dass ein Mieter vor der Kündigungsfrist (3 Monate) aus dem Zimmer raus möchte.
Für uns ist das kein Problem. Wir haben mit dem Mieter abgestimmt, dass dieser noch 2 Monate drin bleiben soll und den letzten Monat erlassen wir ihm gegen eine halbe Mietzahlung.

Für uns stellen sich nun folgende Fragen:
Stellen wir die Kündigungsbestätigung zum 30.06.22 aus? Wenn ja, wie läuft die halbe Mietzahlung ab? Soll diese trotzdem auf das reguläre Mietkonto gehen oder wäre dies eine "freiwillige" Zahlung seitens des Mieter?
Könnten wir das Zimmer zum 01.07.22 neu vermieten? Oder hätte der Mieter Anspruch auf das Zimmer, weil er die vereinbarte halbe Miete gezahlt hat?

Danke und viele Grüße