Wegen Eigenbedarf gekündigt aber keine Hoffnung auf neue Wohnung

Hallo an das Forum,
mein Partner und ich wohnen mit unseren 2 Kindern (2 weitere Kinder sind in regelmäßigem Abstand auch bei uns) in einer DHH zur Miete die verkauft wurde und uns wurde mit 3 Monaten Kündigungsfrist zum 31.03.2020 wg. Eigenbedarf gekündigt.
Wir haben fristgerecht Widerspruch wegen Härtefall eingelegt da wir von vornerein wussten, dass wir in dieser kurzen Zeit von 3 Monaten keine Wohnung finden würden da unsere Kindern im Ort zur Schule gehen wir also in der Nähe bleiben müssten und hier bei uns kaum Wohnungen bzw. Häuser zur Miete frei sind.
Des Weiteren ist mein Partner gesundheitlich sehr angeschlagen (Herzprobleme) und er befindet sich außerdem seit letztem Jahr in einer Privatinsolvenz was die Wohnungssuche wie wir festgestellt haben sehr schwer macht.

Den Widerspruch hat die Gegenseite abgelehnt da sie diese Punkte nicht als Härtefall ansehen. Wir haben über unseren Anwalt dann mitgeteilt, dass wir zwar gewillt sind auszuziehen aber aktuell überhaupt noch nicht sagen können, zu wann wir etwas finden.
Von zwei großen Immobiliengesellschaften die in unserer Gegend die meisten Immobilien vermieten auf Grund der PI eine generelle Absage erhalten haben. Auch nachdem wir erklärt haben, dass grad in der PI ein sicheres Einkommen vorhanden ist und mein Partner ja auch keine Schulden machen darf haben sie uns durch die Blume erklärt, dass dies nicht relevant ist, sobald eine PI vorliegt werden sie mit uns keinen Mietvertrag abschließen. Auch der Hinweis, das wir zwei Verdiener sind und unser Einkommen das 3-fache der Miete übersteigt hat sie nicht interessiert. Die andere Immobiliengesellschaft sagte uns Ähnliches.
Bisher hat sich die Gegenseite noch nicht weiter geäußert, unsere Anwältin sagte, dass die Gegenseite entweder abwartet oder nun eine Räumungsklage einreichen wird da wir nicht ausgezogen sind zum 31.03.2020. Nun ist unsere Frage ob es hier evtl. Erfahrungen gibt, wie lange so eine Räumungsklage dauern kann?
Wir haben Sorge, dass wir einfach "auf die Straße" gesetzt werden und dies unverschuldet. Kann dies passieren?
Über eine Antwort von jemanden der hier evtl. etwas zu sagen kann wären wir sehr dankbar.
Viele Grüße
sunny_1978