Weiternutzung des Mietobjekts nach Kündigung

Hallo liebe Forennutzer,

Ich würde gerne mal eure Einschätzung zu folgender Sachlage wissen:

wir hatten seit Anfang 2012 ein Objekt für unsere Firma angemietet. Es handelte sich um ein kleines Büro und eine Werkswohnung für unsere Mitarbeiter. Der Mietvertrag wurde fristgemäß zum Ende des Jahres 2013 gekündigt, da uns der Mietzins zu hoch war. Nach der Kündigung wurden Verhandlungen mit dem Vermieter über einen neuen Mietvertrag aufgenommen. Es wurden verschiedene Angebote ausgetauscht, jedoch konnte keine Einigung erzielt werden. Auf unser letztes Angebot haben wir auch keine Antwort des Vermieters mehr erhalten und auch kein neues Angebot. Nach Ablauf der Kündigungsfrist sind wir in dem Objekt verblieben und haben weiterhin eine uns angemessen erscheinende reduzierte Miete gezahlt. Dagegen hat der Vermieter keinen Widerspruch eingelegt und uns auch nicht zur Räumung des Objekts aufgefordert. Er hat auch kein neues Angebot unterbreitet, oder uns aufgefordert höhere Miete zu bezahlen. Der einzige Kontakt der danach mit dem Vermieter bestand war eine Email des Vermieters im September 2014, in der er uns gebeten hat die Miete in Zukunft auf ein anderes Konto zu überweisen. Anfang Dezember haben wir dem Vermieter schriftlich mitgeteilt, dass wir Anfang März 2015 aus dem Objekt ausziehen werden, da wir ein anderes, besser passendes Objekt gefunden hatten. Im Januar 2015 kam dann ein Schreiben des Vermieters, in dem er uns auffordert für die Zeit seit Januar 2014 die Differenz zwischen der von uns gezahlten reduzierten Miete und der Miete im ursprünglichen, gekündigten Mietvertrag zu bezahlen. Wir sind dann wie angekündigt Anfang März aus dem Objekt ausgezogen. Nun kam im Mai 2015 ein Mahnbescheid des Vermieters in dem er wiederrum die Forderungen geltend macht. Diesem Mahnbescheid haben wir widersprochen.

Nach meiner Auffassung wurde das Mietverhältnis des alten Mietvertrags zum Ende des Jahres 2013 beendet. Da die Verhandlungen für einen neuen Mietvertrag zu keinem Ergebnis geführt haben, wurde von uns ein angemessener Mietzins bezahlt, dem der Vermieter nicht widersprochen hat, und den er über ein Jahr lang stillschweigend akzeptiert hat. Da der Mietzahlung nie widersprochen wurde, sind wir davon ausgegangen, dass die Miethöhe für den Vermieter so akzeptabel ist. Daher denke ich, dass der Vermieter sich nach über einem Jahr nun nichtmehr auf den Mietzins aus dem alten Mietvertrag berufen kann und keine Grundlage mehr für die Nachforderung der Miete besteht.

Wie würdet ihr die Sache bewerten, teilt ihr meine Auffassung?
Vielen Dank im Voraus für eure Antworten.