Umbuchung und Reiserücktritt - wer zahlt Mehrkosten?

Guten Abend,

wir haben für die Familie einen langen Urlaub gebucht mit Flügen nach Singapur, Thailand und Australien. Der Reisezeitraum war geplant vom 28.07. bis 26.10.
Die Hinreise nach Singapur am 28.07. konnten wir aufgrund einer Infektion mit dem Coronavirus nicht wahrnehmen. Diese wurde durch einen PCR-Test bestätigt.
Wir haben eine Reiseversicherung, die auch COVID-Infektionen abdeckt.

Aufgrund des positiven Testergebnisses haben wir dann den Flug storniert. Es war dabei nur eine Stornierung von Hin- und Rückflug möglich (hin am 28.07., zurück am 26.10.). Da es sich um einen Business Flex Tarif handelt, war die Stornierung kostenfrei.

Allerdings planen wir, die Reise nach wie vor anzutreten (da vor Ort weitere Reisen geplant sind) sobald die Genesung eintritt. Es handelt sich also vielmehr um eine Verschiebung.
Es ergibt sich jedoch eine erhebliche Preisdifferenz zum ursprünglichen Flugpreis (gezahlt ca. 5200 Euro, jetzt ca. 13000 Euro). Diese Preisdifferenz möchten wir gegenüber dem Versicherer geltend machen.

Der Versicherer sagt nun, dass diese Differenz nicht als Schaden eingereicht werden kann. Vielmehr könne nur eine Stornierung gezahlt werden (in diesem Fall kostenfrei) oder aber eine Umbuchung. Eine solche Umbuchung hätte jedoch 14000 Euro zusätzlich zu dem bereits gezahlten Ticket gekostet, also mehr als eine Neubuchung. Daher haben wir die ursprüngliche Buchung auch storniert um den Schaden zu begrenzen.

In den Versicherungsbedingungen heißt es: "Sie erhalten bis zu EUR 6.000, wenn SIe von Ihrer Reise zurücktreten (stornieren), die Reise verschieben, ändern oder nicht antreten..."

Dabei gelten die 6.000 Euro pro Versichertem (in unserem Falle x4).


Die wichtigste Frage: Besteht in unserem Fall ein Anspruch gegenüber der Versicherung?