Nach Umzug aus anderen Bundesland: Abrechnung Nebenkostenabrechnung

Guten Tag ins Forum,

für eine Bekannte (kommt mit dem Internet nicht so klar) möchte ich folgende Frage klären: Die betreffende Person ist Rentnerin mit Altersgrundsicherung und ist von einem Bundesland A in ein anderes Bundesland B gezogen. Bereits in der vorhergehenden Mietwohnung im Bundesland A hat sie Grundsicherung im Alter bekommen. Nun hat sie aus dem alten Mietsverhältnis aufgrund ihrer Sparsamkeit eine Nebenkostennachzahlung von 150 Euro herhalten. Da sie inzwischen ja in einem anderen Bundesland B bzw. einer anderen Stadt wohnt: Muss Sie diese Nachzahlung aus dem alten Mietverhältnis dem aktuellen Grundsicherungsamt melden? Oder tauschen die Ämter diese Infos selbst aus? Meldet sie das erst, wenn die Rückzahlung auf dem Konto ist (kann ja dauern), oder wie geht man da am besten vor?

Danke schonmal