Lohnsteuer zurückholen

Hallo zusammen,
ich habe folgende Problematik: ich bin aus Österreich, auch noch in Österreich gemeldet, arbeite seit Oktober 2016 aber in Deutschland. Mein Arbeitsvertrag ist befristet: ab 24.10.2016, 6 Monate Probezeit und eben bis 23.10.2017 befristet. Mein Arbeitgeber sagte mir bei der Einstellung, dass ich eine SteuerID benötige, welche ich umgehend beantragte hatte. Langes hin und her, viele Telefonate später, teilte mir letztendlich die Dame am Telefon mit, dass ich keine bekomme, ich brauche stattdessen eine Ersatzbescheinigung. Welche ich nun auch nicht bekomme, da ich lt. Vertrag voraussichtlich länger als 6 Monate in Deutschland arbeite.
Jetzt bin ich seit Oktober 2016 mit der Steuerklasse 6 eingestuft. Welche Möglichkeiten gibt es, dass ich das Geld, dass mir die letzten Monate abgezogen wurde (Differenz zw. Steuerklasse 6 und 1) wieder zurück bekomme? Ich kann mich auch in Deutschland melden, dass wäre kein Problem, also für die künftige Einstufung. Es geht mir rein nur um die Vorgehensweise, damit ich nicht um das Geld der letzten Monate umfalle. Welche Möglichkeiten habe ich? bzw. gibt es überhaupt eine?

Vielen Dank schon mal!