Wie vorgehen bei privaten Unfallversicherer

Hallo,
bräute eure Expertenmeinung zu einem Thema.

Eine versicherte Person ist gleichzeitig Versicherungsnehmer und ist über eine private Unfallversicherung versichert und hat einen Unfall.

Begutachter der Versicherung stellen 10% Behinderung fest. Die Versicherung zahlt 10% der vereinbarten Leistung aus.

Der Versicherungsnehmer widerspricht dem Gutachten, weil das Gutachten teilweise fehlerhaft ist. Beispielsweise werden im Gutachten Folgeschäden die durch den Unfall entstehen und Schmerzen nicht erwähnt. Diese würden den Anspruch von 10% auf 20% anheben.

Vor 2 Monaten forderte der Versicherungsnehmer von der Versicherung mindestens 20% Leistung unter Fristsetzung einer zweiwöchigen Frist.

Der Versicherungsträger reagiert nicht mehr. Telefonisch teilt der Versicherungsträger mit, dass der Antrag auf 20% Leistung immer noch geprüft wird.

Die Versicherung ist 6 Wochen in Verzug.

Ich würde gerne in Erfahrung bringen wie der Ablauf ist. Kann der Versicherungsnehmer einen eigenen Gutachter beauftragen und muss dann nochmal Leistungen unter Fristsetzung fordern?