Kaufvertrag Fahrzeugverkauf Anzahlung

Hallo zusammen,

habe folgendes Problem:

Habe gestern meinen Ford Mustang, welcher bei Mobile.de inseriert war, verkauft.
Käufer war ein selbstständiger KFZ-Händler, welcher den Wagen mit 1.000 € angezahlt hat und in den nächsten Tagen bei Zahlung des Restbetrags abholen wird.
Ich soll das Fahrzeug abmelden, da er es mit einem Anhänger abholen möchte.
Soweit so gut. Der Käufer meinte, er würde noch keinen Kaufvertrag benötigen für die Anzahlung.
Der Form halber habe ich ihm aber gesagt, dass ich einen Kaufvertrag machen werde und die Anzahlung eintrage.
Da er das Fahrzeug auf seinen KFZ-Handel kaufen wollte und nicht auf privat hat er im Vertrag (Vordruck von Mobile.de) seinen Firmennamen sowie die Anschrift und Telefonnummer angegeben.
Ich habe den Käufer aufgefordert, mir seinen Personalausweis zu zeigen und ihn als Ansprechpartner in den Kaufvertrag unter den Namen seiner Firma zu schreiben.
Allerdings hatte er seinen Personalausweis nicht dabei.
Er hat mit dem Namen seiner Firma unterschrieben und meinte, dass dieses sein Nachname sei, was mir direkt komisch vor kam.
Allerdings habe ich nachdem der Käufer den Vertrag unterschrieben hat, angezahlt hat und bereits auf dem Heimweg war, mir im Internet seine Firmenhomepage angeschaut und unter Impressum den Geschäftsführer ausfindig gemacht.
Diesen Namen habe ich dann bei Facebook eingegeben und es war der Käufer, allerdings wie bereits vermutet hat er einen anderen Namen.
Welche Konsequenz hat das für mich, dass er mit einem falschen Namen den Kaufvertrag unterschrieben hat?

Meine Bedenken kommen daher, da der Mustang ein von mir nicht definierbares Problem mit der Elektronik hat, welches der Käufer kennt, und ich mir nun Gedanken mache, dass der Käufer (Händler) mir hinterher noch Probleme machen kann.
Zudem der falsche Name des Käufers macht mich stutzig.

Das Problem habe ich folgendermaßen in den Kaufvertrag unter Sondervereinbarungen eingetragen:
Fahrzeug wird mit 1.000 € angezahlt. Rest bei Abholung fällig. Ohne Garantie und Gewährleistung.
Fahrzeug hat technische Mängel. Probegefahren und besichtigt. Motor- und ABS-Kontrollleuchten leuchten auf usw.

Reicht diese Formulierung, um mich gegen eventuelle spätere Klagen des Käufers zu schützen?

Weiterhin meinte der Käufer, dass er bei der Abholung einen Kaufvertrag von seinem KFZ-Handel mit seinen AGB und Stempel mitbringt, welchen wir dann neu aufsetzen. Zudem habe ich Ihn aufgefordert, seinen Personalausweis mitzubringen, damit wir diesen als Ansprechpartner in den Kaufvertrag schreiben können. Ist das notwendig ?
Soll ich seinen mitgebrachten Kaufvertrag unterschreiben oder einfach den Mobile-Vertrag unter „Übergabe des Fahrzeugs" erfolgt unterschreiben?

Ich hoffe, mir kann geholfen werden, sodass ich mir sicher sein kann, dass ich auf der sicheren Seite bin.

Mit freundlichen Grüßen
Timo