PROBLEME MIT PRIVATER ARBEITSVERMITTLUNG

ich habe mich vor einiger zeit an eine private arbeitsvermittlung zwecks jobsuche gewandt und dort auch einen job vermittelt bekommen.
es entstand nach vertragsabschluss mit einem arbeitgeber folgendes problem: ich arbeitete knapp 2 wochen und wurde danach krank, daraufhin wurde mir das arbeitsverhältnis wieder gekündigt.
nun verlangt die private arbeitsvermittlung 600 euro vermittlungsgebühr von mir, weil das arbeitsverhältnis nur 3 wochen dauerte, ich aber mindestens 6 wochen beschäftigt sein muss, damit das arbeitsamt über den vermittlungsgutschein die vergütung an den privaten vermittler zahlt.
es ist jedoch NICHT mein verschulden, dass mir gekündigt wurde, gern hätte ich dort weiter gearbeitet! hätte ich das arbeitsverhältnis jedoch selbst gekündigt, wäre das ganze völlig nachvollziehbar.
aber muss nun jeder arbeitnehmer, welcher seinen job per pav bekommen hat, angst haben in den ersten 6 wochen krank zu werden um nicht auf der gebühr sitzenzubleiben?
ist es rechtens was dieser arbeitsvermittler vom mir verlangt? ich bitte um eine schnelle rückantwort, denn ich bin deswegen ziemlich verzweifelt.