Privater Kaufvertrag Küche (Hauskauf) nichtig?

Privater Kaufvertrag über eine Küche (Hauskauf)
Schönen guten Tag,

Ich schildere mal unsere Geschichte. Wir haben ein Haus von einer älteren Dame gekauft. Dabei ist so einiges schief gelaufen, weil die ältere Dame von Tag zu Tag ihre Meinungen geändert hat. Das Haus sollte 354.000€ kosten. Dann viel ihr ein es für 360.000€ haben zu wollen, jedoch waren wir schon bei der Bank und haben eine Finanzierung aufbauen lassen. Der Makler kam uns entgegen für die ganzen Umstände ging 1% von der Provision runter. Sodass wir Geld übrig hatten, der Dame viel dann ganz plötzlich ein die Küche aus dem Hauskauf Vertrag rauszunehmen und diese uns für 10.000 Euro zu verkaufen. Wir haben so blöd wie wir waren einen Privatkaufvertrag unterschrieben weil die Finanzierung schon stand der Zeitpunkt der Unterschrift war am selben Tag, nur eine Stunde davor, bevor wir die Unterschrift beim Notar geleistet haben.

Nun ist meine Frage, ist der Privatkaufvertrag, der Küche nicht sogar nichtig, weil er wurde vor dem Hauskauf Vertrag unterschrieben und im Hauskauf Vertrag steht klar und deutlich:

Nicht verkauft wird die derzeit vorhandene Einbauküche (sowie das Handwaschbecken nebst Ablage im GÄSTE-WC). Diese Gegenstände verbleiben im Eigentum des Verkäufers. Der Verkäufer wird diese Gegenstände vor Übergabe des Grundstücks ausbauen und entfernen.

Schönen Gruß