Schüler-BAföG: Anspruch verwirkt?

Guten Tag zusammen...
Die Konstellation ist ein bißchen "anders", vielleicht kann jemand Licht ins Dunkle bringen:
Mein Frau hat 2 Söhne aus erster Ehe (24,22) - beide wohnen in der von ihr angemieteten Wohnung.
Wir alle (4) sind dort gemeldet.
Wir allerdings wohnen nun gute 2 Jahre überwiegend im europäischen Ausland (hier besteht keine Meldepflicht) - und sie behält die Wohnung an sich nur, damit die Kinder ein Dach über dem Kopf haben.
Der ältere Sohn hat ausgelernt und arbeitet Vollzeit.
Der jüngere möchte nun (wieder) BAföG beantragen - Hintergrundinfo
Der jüngere Sohn ist mit 17 (2014) zum Vater gezogen und ging damals zur Schule.
Er hat irgendein Fachabschluß gemacht (schulisch, kein Abi) - damit konnte man aber studieren.
Er ein Studium angefangen und wohnte in einem Studentenwohnheim (andere Stadt) und bezog BaFöG, gute 2 Jahre lang. Der Lohn vom Bruder wurde angerechnet bei der Berechnung des BAföGs.
Versichert war er über die Familienkasse des Vaters (GKV) - früher natürlich über die Mutter (PKV).
Nachdem er festgestellt hat dass er das Studium nicht schafft, ist er wieder zuhause eingezogen (letztes Jahr im Herbst 2018). Er hat kurz nebenbei gejobbt (war dann selbst GKV versichert) und hat sich für jetzt Ende August 2019 wieder eingeschrieben in eine Schule, um sein Abi zu machen (für ein Jahr Vollzeit).
Er ist jetzt wieder über den Vater GKV versichert.

Beide Jungs leisten nun einen Unterstützungsbeitrag (der ältere 100 EUR mehr als der jüngere, der hier nur sein Kindergeld der Mutter überlässt. Der jüngere selbst hat (neu) einen 450 EUR Job angenommen (wie er das Vollzeit regelt ist seine Sache).

Jetzt kurz vor Beginn der Schule möchte der jüngere Sohn eine Bescheinigung von seiner Mama, dass das ja nur ein Zweitwohnsitz von meiner Frau wäre und sie (=die Kinder) ja durch Ihre Zahlungen (=Unterstützungsbeiträge) für die Wohnung ja aufkommen.
... - was so ja nicht stimmmt.

Meine Frau zahlt alles (Miete, NK, Strom, GEZ, Versicherungen). Sie ist die einzige im Mietvertrag.
Ja, sie erhält den Unterstützungsbeitrag von den Kindern - sie haben ja auch alles behalten dürfen (Einbauküche, Kühlschrank, WaMa, Trockner, etc... Möbel - wir selbst haben dort nicht für uns großartig verwertbares mehr (einzig die Einbauküche)

Kann , vielmehr darf meine Frau nun eine Bescheinigung ausstellen, wo sie bestätigt, dass das Kind für den Unterhalt der Miete aufkommt? ..wäre ja gelogen, denke ich - Hat der junge Mann nun irgendeine Option auf Zuwendungen (BAföG, oder etwas anderes)?
Unterhaltspflichtig wäre meine Frau (bzw. der Vater) nicht mehr, das der junge ja schon ine Ausbildung hat.

Vielen Dank für das Lesen - falls es Unklarheiten gibt - einfach melden...