Krankengeld und Aufhebungsvertrag

Sehr geehrte Nutzer,

kann hier in diesem Forum jemand helfen?

Ich bin wegen Mobbing durch Kollegen/Chef und dadurch Depression seit 19.07. krankgeschrieben. Seit dem 28.08. beziehe ich Krankengeld. Ich kann Anfang Dezember nun endlich eine Therapie beginnen das weiss auch die Krankenkasse.
Nach einem Gespräch mit dem Arbeitgeber wurde sich auf eine Beendigung des Arbeitsverältnisses geeinigt, mit Aufhebungsvertrag zum 31.10.
Die Arbeitsagentur ist informiert, von dort wird Arbeitslosengeld allerdings erst ab 01.01. bezahlt, da meine Kündigungsfrist vertraglich geregelt erst zum 31.12.2019 gegriffen hätte.
Die Krankenkasse jedoch meint sie zahlen nur bis zum 31.10. Krankengeld, da dann die Arbeitsagentur zuständig ist.
Wie kann man hier agumentieren? Hat die Krankenkasse recht? Oder lohnt es sich Widerspruch einzulegen oder zum Sozialgericht zu gehen.

Ich bedanke mich im Voraus

Freundliche Grüße