Brückenteilzeit, Vertragsänderung

Mal angenommen: Arbeitnehmer X hat bei seinem Arbeitgeber Y am 31.03.2022 einen Antrag auf Brückenteilzeit ab 01.07.2022 gestellt. In dem Antrag wurde alles detailliert angegeben, also von 40 auf 24 Std. an den und den 3 Wochentagen je 8 Std.
Antrag war fristgerecht gestellt, darüber herrscht Einigkeit.
Einzige Reaktion Y: Anruf am 01.04. von cholerischer Vorgesetzter: „Wir müssen ja zustimmen, wir werden auch zustimmen, ich finde es sch…. und sowas gehöht sich nicht….nur sinnloses Gemecker.
Von Y kommt keine schriftliche Reaktion. Dann am 26.06.2022 per Post ein Schreiben: Vertragsänderung/Verkürzung der Arbeitszeit…… alles betreffend der Kürzung wurde darin korrekt wiedergeben auch Kürzung Gehalt, Urlaub.
Unterschrieben von HR und 2. Vorgesetztem (nicht Cholerikerin) mit der Bitte, dass AN auch unterschreibt.
Am 05.07. kam dann Mail von vorgesetzter Cholerikerin: Bist nicht telef. erreichbar (stimmt weil es war freier Tag von X), ich erwarte, dass du alle Aufgaben weiter vollständig erfüllst auch wenn du 2 Tage die Woche frei hast, wir reden da noch drüber…
X hatte nun erstmal nicht unterschrieben weil er auf angedrohtes Gespräche wartet, was bisher nicht stattfand.
Nun kam HR und fragte nach Unterschrift und sagte wenn Sie nicht unterschreiben gilt ja die Teilzeit nicht sondern die alte Vollzeit. Wobei X aber davon ausging das Teilzeit „quasi" genehmigt war weil ja über 2,5 Monate nach Antrag keine Reaktion erfolgt.
Frage 1: Muss bei einer Brückenteilzeit tatsächlich eine schriftliche Vertragsänderung gemacht werden?
Frage 2: Kann X sich selber Schaden wenn er dies unterschreibt.
Frage 2: Kann diese Vorgesetzte verlangen dass X an den beiden freien Tagen arbeitet wenn sie es für nötig hält, oder X sich ständig abstimmt/abmeldet und Überstunden schiebt weil er in 3 Tagen nicht alles schafft?