Kündigungsfrist Mini-Job

Hallo zusammen,

ich habe am 17.05. eine Stelle auf Mini-Job Basis angenommen. Jetzt, nach zwei Wochen, wurde mir eine andere Stelle, welche mir auch für mein Studium von großem Nutzen wäre, angeboten. Hier könnte ich sofort beginnen.
Nun stellt sich mir die Frage, wann ich aus meinem jetzigen Dienstvertrag aussteigen kann. Als Kündigungsfrist ist hier "ein Monat zum Monatsende, soweit nicht andere Kündigungsfristen durch Gesetz bzw. Tarifvertrag zwingend vorgeschrieben sind" angegeben. Insofern würde sich hieraus der nächstmögliche Kündigungstermin Ende Juli ergeben.

Im Vertrag wurde keine Probezeit schriftlich festgehalten. Es wurde lediglich in einem Gespräch mitgeteilt, dass es die übliche Probezeit von 6 Monaten gibt und wir dann schauen, ob alles passt.
Ich habe bereits im Internet gelesen, dass in der Probezeit die Kündigungsfrist bei 2 Wochen liegen würde. Des Weiteren auch, dass die gesetzliche Kündigungsfrist zum 15. oder letzten eines Kalendermonats ausgelegt ist.

Da ich aber leider nur die Kündigungsfrist "einen Monat bis Monatsende" im Vertrag stehen habe, stellt sich mir die Frage, ob ich letzten Endes einfach Pech habe und vor Unterschrift auf eine schriftliche Bestätigung der Probezeit (oder zumindest zum 15. eines Monats) hätte bestehen müssen, um jetzt nicht noch 2 Monate warten zu müssen, damit ich meinen neuen Mini-Job beginnen kann - oder ob es eventuell doch eine Möglichkeit gibt, früher als Ende Juli aus dem Vertrag zu kommen?

Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen. Über Antworten würde ich mich sehr freuen, vielen Dank hierfür im Voraus!

Liebe Grüße
Jan